如圖，已知三棱錐A-PBC中，AC⊥BC，AP⊥PC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．
（1）求證：BC⊥平面APC；
（2）若BC=3，AB=10，求二面角P-MC-B的余弦值的絕對值．
考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定
專題：空間角
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出MD⊥PB，AP⊥PB，由此能證明AP⊥平面PBC，從而得到BC⊥平面APC．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能求出二面角P-MC-B的余弦值的絕對值．
解答： （1）證明：∵△PMB為正三角形，
且D為PB的中點(diǎn)，∴MD⊥PB．
又∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，
∴MD∥AP，∴AP⊥PB．…（3分）
又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，
∴BC⊥平面APC …（6分）
（2）解：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則B(
5
2
，0，0)，
P(-
5
2
，0，0)，M(0，0，
5
3
2
)
過點(diǎn)C做CH⊥PB垂足為H，
在Rt△PBC中，由射影定理得HC=
12
5
，BH=
9
5
，DH=
5
2
-BH=
7
10
，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(
7
10
，
12
5
，0)…（9分）
∴
BC
=(-
9
5
，
12
5
，0)，
BM
=(-
5
2
，0，
5
3
2
)，
PM
=(
5
2
，0，
5
3
2
)，
PC
=(
16
5
，
12
5
，0)，
∴設(shè)平面BMC的法向量
m
=(x，y，z)，
則由
BC
•
m
=0
BM
•
m
=0
，得
-
9
5
x+
12
5
y=0
-
5
2
x+
5
3
2
z=0
，
取x=12，得
m
=(12，9，4
3
)
設(shè)平面PMC的一個(gè)法向量為
n
=(x1，y1，z1)，則
PM
•
n
=0
PC
•
n
=0
，
∴
5
2
x1+
5
3
2
z1=0
16
5
x1+
12
5
y1=0
，取x1=3，得
n
=(3，-4，-
3
)，
∴cos?
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=
36-36-12
273
•
28
=-
2
39
91

故所求的二面角余弦值的絕對值為
2
39
91
…（12分）
點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的絕對值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
）的圖象關(guān)于直線x=
2π
3
對稱，它的周期是π，則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)（　　）
（1）f（x）的圖象過點(diǎn)（0，
1
2
）  
（2）f（x）的一個(gè)對稱中心是（
5π
12
，0）
（3）f（x）在[
π
12
，
2π
3
]上是減函數(shù)
（4）將f（x）的圖象向右平移|φ|個(gè)單位得到函數(shù)y=3sinωx的圖象．
A、4B、3C、2D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為6-12t，公差為6的等差數(shù)列；數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn=3n-t．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．試證明：對于任意的n（n∈N*，n≥1），均存在正整數(shù)cn，使得bn+1=acn，并求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+
3
cosx，x∈R．
（1）求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）的最大值及相應(yīng)的x值；
（3）用五點(diǎn)法畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象（要求列表描點(diǎn)作圖）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，設(shè)cn=an+bn，且數(shù)列{cn}的前三項(xiàng)分別為3，6，11．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和S10．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B-AC-E的正弦值；
（3）求點(diǎn)D到平面ACE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足an+an+1=n+
1
2
．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求{an}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）若a1，am，a3m成等比數(shù)列，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，且有|an+1|=|an+1|．
（1）寫出a3所有可能的值；
（2）是否存在一個(gè)數(shù)列{an}滿足：對于任意正整數(shù)n，都有an+6=an成立？若有，請寫出這個(gè)數(shù)列的前6項(xiàng)，若沒有，說明理由；
（3）求|a1+a2+…+a10|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定積分
∫
e
1
1
x
dx-
∫
1
0
sinxdx的值為
 
．

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同步練習(xí)冊答案