Question

已知

a

=(

3

sinx，cosx)，

b

=(cosx，cosx)
（1）若

a

•

b

=1，且x∈[-

π

4

，

π

4

]，求x的值；
（2）設(shè)f(x)=

a

•

b

，求f（x）的周期及單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）寫出兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，通過三角恒等變形為y=Asin（ωx+φ）的形式，使其等于1，根據(jù)所給自變量的范圍求出結(jié)果．
（2）寫出兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，通過三角恒等變形為y=Asin（ωx+φ）的形式，用周期公式得到周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間得出要求函數(shù)式的減區(qū)間．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=1，
∴

3

sinx•cosx+cos2x=1，
即

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=

1

2

，
∴sin(2x+

π

6

)=

1

2

．
∵-

π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

3

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴2x+

π

6

=

π

6

，
∴x=0．
（2）∵f(x)=

a

•

b

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
∴T=

2π

2

=π．
∵f（x）=sinx的單調(diào)減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z）
∴2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，
∴kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
∴原函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．

點(diǎn)評：本題以向量為載體，通過向量坐標(biāo)形式的數(shù)量積運(yùn)算，得到三角函數(shù)式，通過三角恒等變形，進(jìn)行三角函數(shù)有關(guān)性質(zhì)的運(yùn)算，這種結(jié)合在高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，一定要引起重視．