Question

已知f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…

x101

101

，g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x101

101

，若函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)x₁，函數(shù)g（x）有唯一零點(diǎn)x₂，則有（　�。�

A．x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）

B．x₁∈（-1，0），x₂（1，2）

C．x₁∈（0，1），x₂∈（0，1）

D．x₁∈（-1，0），x₂∈（1，0）

Answer 1

分析：先判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間，然后證明其單調(diào)性即可．

解答：解：①∵f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-

1

2

-

1

3

-…-

1

101

＜0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）內(nèi)有零點(diǎn)；
又f^′（x）=1-x+x²-x³+…+x¹⁰⁰，
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f^′（x）=

1+x101

1+x

＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)x₁∈（-1，0）；
②∵g（1）=1-1+

1

2

-

1

3

+…+

1

100

-

1

101

＞0，g（2）=1-2+

22

2

-

23

3

+…+

2100

100

-

2101

101

＜0．
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f^′（x）=-1+x-x²+x³-…+x⁹⁹-x¹⁰⁰=

x100-1

x+1

＞0，∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，故函數(shù)g（x）有唯一零點(diǎn)x₂∈（1，2）；
綜上可知：正確答案為B．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：理解函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法和正確使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．