Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的最值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）試說明是否存在實數(shù)a（a≥1）使y=f（x）的圖象與無公共點．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，再把a=1代入求出其導函數(shù)以及單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)f（x）的最值；
（2）先求出函數(shù)的導函數(shù)，再利用分類討論思想討論導函數(shù)對應方程根的大小，進而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）先由（2）得f（x）在（1，+∞）的最小值為，再求出在[1，+∞）上的最大值，讓其與的值相比較即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定義域是（1，+∞）
當a=1時，，所以f（x）在為減函數(shù)
在為增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的最小值為=．
（2），
若a≤0時，則，f（x）=＞0在（1，+∞）恒成立，所以f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）．
若a＞0，則，故當，f′（x）=≤0，
當時，f（x）=≥0，
所以a＞0時f（x）的減區(qū)間為，f（x）的增區(qū)間為

（3）a≥1時，由（2）知f（x）在（1，+∞）的最小值為，
令=在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以，則＞0，
因此存在實數(shù)a（a≥1）使f（x）的最小值大于，
故存在實數(shù)a（a≥1）使y=f（x）的圖象與無公共點
點評：本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值的應用．求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．