Question

已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{a_n}的前六項(xiàng)和為60，且a₆為a₁和a₂₁的等比中項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（II）若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N*)，且b1=3，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn；
（III）求數(shù)列{

1

bn-n

}的前n項(xiàng)和Tn．

Answer 1

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意建立方程組，求得d和a₁，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式分別求得a_n及前n項(xiàng)和S_n．
（II）根據(jù)（I）中的a_n和b₁，根據(jù)b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…（b₂-b₁）+b₁，進(jìn)而求得b_n ．
（III）由于

1

bn-n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，故用裂項(xiàng)法求數(shù)列{

1

bn-n

}的前n項(xiàng)和T_n 的值．

解答：解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可得

6a1+ 6×5 2 d =60 (a1+5d)2= a1(a1+20d)

，解得 a₁=5，d=2，故a_n=2n+3．
（II）由題意可得 bn+1-bn=an(n∈N*)，且b1=3，
∴b₁=3，b₂-b₁=2+3，b₃-b₂=2×2+3，b₄-b₃=2×3+3，…b_n-b_n-1=2（n-1）+3，
累加可得b_n=n（n+2），且此公式對(duì)第一項(xiàng)也成立，故b_n=n（n+2）（n∈N^*）．
（III）∵

1

bn-n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴數(shù)列{

1

bn-n

}的前n項(xiàng)和T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和用裂項(xiàng)法求和，注意由數(shù)列的性質(zhì)，來(lái)確定求和的方法，屬于中檔題．