Question

已知函數(shù)f（x）=－x²+2lnx．

(Ⅰ)求函數(shù)f（x）的最大值；

(Ⅱ)若函數(shù)f（x）與g(x)=x+有相同極值點(diǎn)，

(i)求實(shí)數(shù)a的值；    ’

 (ii)若對(duì)于x₁ ，x₂∈[，3 ]，不等式≤1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（），··············· 1分

由得，；由得，.

∴　在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．3分

∴　函數(shù)的最大值為．4分

（Ⅱ）∵　，　∴　．

（�。┯桑á瘢┲�，是函數(shù)的極值點(diǎn)，

又∵　函數(shù)與有相同極值點(diǎn)，

∴  是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴　，解得．7分

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極小值，符合題意．8分

（ⅱ）∵　，，，

∵　，  即  ，

∴　，．9分

由（�。┲�，∴ .

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．

∵　，

而  , 

∴　，． 10分

①　當(dāng)，即時(shí)，

對(duì)于，不等式恒成立

，

∴  ，又∵ ，∴　． 12分

②　當(dāng)，即時(shí)，

對(duì)于，不等式

．

∵  ，

∴　．

又∵，∴　．          

綜上，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍為．

【解析】略