Question

等比數列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），且a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中項，若b_n=log₂a_n+1
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若數列{c_n}滿足c_n=a_n+1+

1

b2n-1•b2n+1

，求數列{c_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）求數列{a_n}的通項公式，設出公比為q，由a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中項，這兩個方程聯(lián)立即可求出首項與公比，通項易求．
（2）確定數列{c_n}的通項，分組求和即可．

解答： 解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q．
由a₁a₃=4可得a₂²=4
因為a_n＞0，所以a₂=2
依題意有a₂+a₄=2（a₃+1），得2a₃=a₄=a₃q
因為a₃＞0，所以，q=2
所以數列{a_n}通項為a_n=2^n-1，
所以b_n=log₂a_n+1=n；…（6分）
（2）設數列{c_n}的前n項和為S_n．
∵c_n=a_n+1+

1

b2n-1•b2n+1

=2ⁿ+

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）…（8分）
∴S_n=

2(1-2n)

1-2

+

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…

1

2n-1

-

1

2n+1

）=2ⁿ⁺¹-2+

n

2n+1

…（12分）

點評：本題考點是等差數列與等比數列的綜合，考查等比數列的通項公式、等差數列的性質以及分組求和的技巧，以及根據題設條件選擇方法的能力