Question

某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺），其總成本為G（x）（萬元），其中固定成本為2.8萬元，并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．銷售收入R（x）（萬元）滿足R(x)=

-0.4x2+4.2x 11

(0≤x＜5) (x≥5)

，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律，請完成下列問題：
（1）分別寫出G（x）和利潤函數(shù)y=f（x）的解析式（利潤=銷售收入-總成本）；
（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使盈利最多？并求出此時每臺產(chǎn)品的售價．

Answer 1

分析：（1）由題意得G（x）=2.8+x．由R(x)=

-0.4x2+4.2x 11

(0≤x＜5) (x≥5)

，f（x）=R（x）-G（x），能寫出利潤函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出每一段函數(shù)的最大值，再比較，從而求出工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使盈利最多．

解答：解：（1）由題意得G（x）=2.8+x，
∴f（x）=R（x）-G（x）=

-0.4x2+3.2x-2.8 8.2-x

(0≤x＜5) (x≥5)

．
（2）當x≥5時，函數(shù)f（x）在[0，5]上單調(diào)遞減，f（x）_max=f（5）=3.2，
當0≤x＜5時，函數(shù)f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，
當x=4時，f（x）_max=f（4）=3.6，
∵3.2＜3.6，
∴當x=4時，f（x）取得最大值3.6，
此時每臺售價為

R(4)

400

=0.026（萬元）=260元．            
答：當工廠生產(chǎn)4百臺時，可使贏利最多，此時每臺售價為260元．

點評：本題考查函數(shù)知識在生產(chǎn)實際中的具體應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．