Question

有一種新型的奇強(qiáng)洗衣液，特點(diǎn)是去污速度快．已知每投放k（1≤k≤4，且k∈R）個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=k•f（x），其中f(x)=

24 8-x -1，(0≤x≤4) 7- 1 2 x，(4＜x≤14)

．若多次投放，則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效去污的作用．
（1）若只投放一次k個(gè)單位的洗衣液，2分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為3（克/升），求k的值？
（2）若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘？
（3）若第一次投放2個(gè)單位的洗衣液，10分鐘后再投放1個(gè)單位的洗衣液，在第12分
鐘時(shí)洗衣液是否還能起到有效去污的作用？能，請(qǐng)加以證明；不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由只投放一次k個(gè)單位的洗衣液，2分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為3（克/升），根據(jù)已知可得y=k•f（x）=3，代入可求出k值；
（2）由只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，所以y=

96 8-x -4(0≤x≤4) 28-2x(4＜x≤14)

，分0≤x≤4和4＜x≤14兩種情況分析討論去污時(shí)長(zhǎng)，最后討論結(jié)果，可得答案．
（3）令x=12，求出此時(shí)y值，與4進(jìn)行比較，若大于4，可得在第12分鐘時(shí)還能起到有效去污的作用．

解答：解：（1）f(x)=

24 8-x -1，(0≤x≤4) 7- 1 2 x，(4＜x≤14)

當(dāng)2分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為3（克/升），
可得y=k•f（x）=3，
∵k(

24

8-2

-1)=3，
∴k=1；
（2）因?yàn)閗=4，
所以y=

96 8-x -4(0≤x≤4) 28-2x(4＜x≤14)

則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，
由

96

8-x

-4≥4，
解得x≥-4，
所以此時(shí)0≤x≤4
當(dāng)4＜x≤14時(shí)，
由28-2x≥4，
解得x≤12，
所以此時(shí)4＜x≤12
綜合，得0≤x≤12，若一次投放4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)12分鐘
（3）當(dāng)x=12時(shí)，y=2×(7-

1

2

×12)+1×(

24

8-(12-10)

-1)=5＞4，
∴在第12分鐘時(shí)還能起到有效去污的作用．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，其中正確理解水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效去污的作用，是解答本題的關(guān)鍵．