已知△ABC中，點D是BC的中點，過點D的直線分別交直線AB、AC于E、F兩點，若
AB
=λ
AE
（λ＞0），
AC
=μ
AF
(μ＞0)，則
1
λ
+
4
μ
的最小值是
9
2
9
2
．
分析：由題意可得
AD
=
λ
2
AE
+
μ
2
AF
，由D、E、F三點共直線可得
λ
2
+
μ
2
=1，故
1
λ
+
4
μ
=（
1
λ
+
4
μ
）（
λ
2
+
μ
2
）=
5
2
+
2λ
μ
+
μ
2λ
，下面由基本不等式可得答案．
解答：解：由題意可得
AB
+
AC
=2
AD
，即λ
AE
+μ
AF
=2
AD
，
故
AD
=
λ
2
AE
+
μ
2
AF
，由D、E、F在同一條直線上，故
λ
2
+
μ
2
=1
所以
1
λ
+
4
μ
=（
1
λ
+
4
μ
）（
λ
2
+
μ
2
）=
5
2
+
2λ
μ
+
μ
2λ

因為λ＞0，μ＞0由基本不等式可得
5
2
+
2λ
μ
+
μ
2λ
≥
5
2
+2
2λ
μ
•
μ
2λ
=
9
2

當且僅當
2λ
μ
=
μ
2λ
，即μ=2λ時取等號．
故答案為：
9
2
點評：本題為向量與基本不等式的結合，其中向量式的結論和“1”的代入是解決問題的關鍵，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，點D在BC邊上，且
CD
=2
DB
，
CD
=r
AB
+s
AC
，則r+s的值是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，點D在BC邊上，且
CD
=2
DB
，
CD
=r
AB
+s
AC
，則r+s的值是（　　）
A、
2
3
B、
4
3
C、-3
D、0

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，點D在BC邊上，且，若,則r+s的值是(    )

A.            B.0                C.          D.-3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖北省高三10月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知△ABC中，點D是BC的中點，過點D的直線分別交直線AB．AC于E、F兩點，若，，則的最小值是        ．

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案