Question

過橢圓x²+2y²=2的焦點(diǎn)引一條傾斜角為45°的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，橢圓的中心為O，則△AOB的面積為

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AB的方程，把直線AB代入橢圓方程，求出線段AB的長，再由點(diǎn)到直線距離公式求出原點(diǎn)到直線AB的距離，由此能求出△AOB的面積．

解答：解：把橢圓x²+2y²=2轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

2

+y²=1，
∵a²=1，b²=1，
∴橢圓x²+2y²=2的焦點(diǎn)F₁（1，0），F(xiàn)₂（-1，0），
∵過橢圓x²+2y²=2的焦點(diǎn)引一條傾斜角為45°的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，
設(shè)直線AB過焦點(diǎn)F₁（1，0），
∴直線AB的方程為y=x-1，
聯(lián)立方程組

x2+2y2=2 y=x-1

，
整理，得4x²-4x=0，
解得

x1=0 y1=-1

，

x2=1 y2=0

，
∴|AB|=

(1-0)2+(0+1)2

=

2

，
∵原點(diǎn)O到直線AB：y=x-1的距離d=

|0-0-1|

2

=

2

2

，
∴S_△AOB=

1

2

×

2

×

2

2

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查三角形面積的求法，涉及到橢圓性質(zhì)、直線方程、點(diǎn)到直線距離公式等知識點(diǎn)，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．