Question

橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程。
（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求的面積。
（3）設(shè)軌跡與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在軌跡上，
滿足求證：直線恒過軸上的定點(diǎn)。

Answer 1

解：（1）由題設(shè)知：2a = 4，即a = 2，2c=2，即c=1，
故橢圓方程為，      ………2分
∵M(jìn)P=MF₂，
∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F₁（1，0）的距離，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是C為l₁準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線 
∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為   …………5分
（2） 消去 并整理得： 
設(shè) 則  ---------------7分
 =-----------9分
（3）Q（0，0），設(shè)    ------------10分
  
         ---------------------------11分
 
 
 ----------------13  分        
故直線RS恒過定點(diǎn)（4，0）-------------------------------------------------------14分

略