Question

給出下列四個命題：
①“若x∈R，則x²+1≥1”的逆否命題是真命題；
②函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上不存在零點；
③若p∨q為真命題，則p∧q也為真命題；
④m≥-1，則函數(shù)y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域為R．
其中真命題是

①④

（填上所有真命題的代號）

Answer 1

分析：①、由于原命題與其逆否命題的真假性一致，故可判斷其原命題的真假，得到正確結(jié)論；
②、由于函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，要判斷是否存在零點，只需驗證函數(shù)在區(qū)間左右端點函數(shù)值的乘積是否小于零即可；
③、考察復(fù)合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復(fù)合命題的簡單命題的真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷即可；
④、由于對數(shù)函數(shù)值域是R，則只需讓真數(shù)取遍（0，+∞）內(nèi)的所有實數(shù)即可，即需讓（0，+∞）為函數(shù)t=x²-2x-m值域的子集，求出m的范圍可得正確結(jié)論．

解答：解：①、由于x∈R，則x²≥0，所以x²+1≥1，又由于原命題與其逆否命題的真假性一致，所以“若x∈R，則x²+1≥1”的逆否命題是真命題，故①正確；
②、由于函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上為增函數(shù)，且f（1）f（e）=（ln1-2+1）（lne-2+e）=-1×（e-1）=1-e＜0，
則函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點，故②錯誤；
③、由于p∨q為真命題，則p，q中至少有一個為真命題，又由p∧q為真命題，則p，q都為真命題，所以“若p∨q為真命題，則p∧q也為真命題”為假命題，故③錯誤；
④、由于對數(shù)函數(shù)y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域是R，則需讓真數(shù)t=x²-2x-m的值取遍（0，+∞）內(nèi)的所有實數(shù)，即△=4+4m≥0，解得m≥-1，故④正確．
故答案為①④．

點評：本題考查命題的真假判斷，需要對四個命題逐一檢驗，方可得到正確結(jié)論．注意：原命題與其逆否命題的真假性一致；若對數(shù)函數(shù)值域是R，則只需讓真數(shù)取遍（0，+∞）內(nèi)的所有實數(shù)即可．