Question

如圖，A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）是拋物線C：x²=2py（p為正常數(shù)）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AB與x軸交于點(diǎn)p，與y軸交于點(diǎn)Q，且y₁y₂=．
（Ⅰ）求證：直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)；
（Ⅱ）是否存在直線AB，使得+=？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b（k≠0，b＞0），由，得x²-2pkx-2pb=0．由此能夠證明直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)．
（Ⅱ）假設(shè)存在直線AB，使得，即．作AA′⊥x軸，BB′⊥x軸，垂足為A′、B′，故．由此能夠求出直線AB的方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，直線AB的斜率存在，且不為零．
設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b（k≠0，b＞0）
由，得x²-2pkx-2pb=0．
∴，（4分）
∴．
∵，∴，
∵b＞0，∴．
∴直線AB的方程為：．
拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)．（8分）
（Ⅱ）假設(shè)存在直線AB，使得，即．
作AA′⊥x軸，BB′⊥x軸，垂足為A′、B′，
∴．（11分）
∵，，
∴==4k²+2．
由4k²+2=3，得．
故存在直線AB，使得．
直線AB方程為．（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)的證明，考查直線方程的求法．綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．