如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)。
（1）證明：D1E⊥A1D；
（2）是否存在點(diǎn)E使得面D1DE⊥面D1EC？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)E到面ACD1的距離；若不存在，請說明理由；
（3）AE等于何值時(shí)，二面角D1-EC-D的大小為？
解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AE =x，
則 D（0，0，0），A（1，0，1），D（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）
（1）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111017/201110170932343281576.gif">
所以
即D1E⊥A1D。
（2）設(shè)平面D1EC的一個(gè)法向量為n1=（a，b，c）

則
令b=1，則c=2，a=2-x，n1=（2-x，1，2），
再設(shè)平面D1DE的一個(gè)法向量為

則
令n=1，則m=-x，n2=（-x，1，0）
由面D1DE⊥面D1ECn1·n2=（2-x，1，2）·（-x，1，0）=0得x2-2x+1=0
故x=1
故E為AB的中點(diǎn)時(shí)，有面D1DE⊥面D1EC
由于此時(shí)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，故E（1，1，0），

設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量n3=（x，y，z），則

令x=2，則y=1，z=2，即n3=（2，1，2），
故點(diǎn)E到面ACD1的距離為。
（3）由上述解答過程可知面D1EC的法向量為n=（2-x，1，2）
由題意，
故（不合題意，舍去）
∴當(dāng)時(shí)，二面角D1-EC-D的大小為。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在長方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐A1-ABC的面是直角三角形的個(gè)數(shù)為：
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，定義八個(gè)頂點(diǎn)都在某圓柱的底面圓周上的長方體叫做圓柱的內(nèi)接長方體，圓柱也叫長方體的外接圓柱．設(shè)長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別為a，b，c（其中a＞b＞c），那么該長方體的外接圓柱側(cè)面積的最大值等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若一個(gè)n面體中有m個(gè)面是直角三角形，則稱這個(gè)n面體的直度為.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，四面體A1-ABC的直度為(    )

 

A.         B.               C.                 D.1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若一個(gè)n面體中有m個(gè)面是直角三角形，則稱這個(gè)n面體的直度為.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，四面體A1-ABC的直度為(    )

 

A．            B．              C．              D．1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年四川省成都市高二3月月考數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

（文科做）（本題滿分14分）如圖，在長方體

ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).

（1）證明：D1E⊥A1D;

（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離；

（3）AE等于何值時(shí)，二面角D1—EC－D的大小為.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 

 

（理科做）(本題滿分14分)

     如圖，在直三棱柱ABC – A1B1C1中，∠ACB = 90°，CB = 1，

CA =，AA1 =，M為側(cè)棱CC1上一點(diǎn)，AM⊥BA1．

   （Ⅰ）求證：AM⊥平面A1BC；

   （Ⅱ）求二面角B – AM – C的大小；

   （Ⅲ）求點(diǎn)C到平面ABM的距離．

 

 

 

 

 

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