Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=4，a₂=，，．?
（1）用a_n表示a_n+1；并證明：?n∈N₊，a_n＞2；?
（2）證明：是等比數(shù)列；?
（3）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n與是否有確定的大小關(guān)系？若有，加以證明；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可分別求得a₁和a₂，進(jìn)而求得b₁，整理把代入整理得a_n+1b_n+1=a_nb_n═a₁b₁=4推斷出代入中求得a_n和a_n+1的遞推式，根據(jù)均值不等式可知＞2，進(jìn)而可知a_n+1＞2進(jìn)而推斷出?n∈N₊，a_n＞2
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可求得a_n+1+2，a_n+1-2的表達(dá)式，進(jìn)而可求得，判斷出所以是等比數(shù)列．
（3）由（2）可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a_n，設(shè)，根據(jù)進(jìn)而判斷出
可推斷出，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式求得S_n=．
解答：解：（1）由已知得a₁=4，a₂=，所以b₁=1故a_n+1b_n+1=a_nb_n═a₁b₁=4；
由已知：a_n＞0，a₁＞2，a₂＞2，∴，
由均值不等式得a_n+1＞2
故??n∈N₊，a_n＞2

（2），，

所以，所以是等比數(shù)列

（3）由（2）可知∴
設(shè)，（n≥2）
?
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
?
=
=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力．