試用數(shù)學(xué)歸納法證明n3－3n2＋8n－6能被6整除．

答案：
解析：

　　證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，13－3×12＋8×1－6＝0能被6整除．

　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)結(jié)論正確，即k3－3k2＋8k－6能被6整除，

　　則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

　　(k＋1)3－3(k＋1)2＋8(k＋1)－6＝(k3－3k2＋8k－6)＋3k(k＋1)＋6．

　　∵3k(k＋1)和6都能被6整除，

　　∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論正確．

　　由(1)(2)可知命題成立．

　　思路分析：與自然數(shù)n有關(guān)的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明．


提示：

用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題時(shí)，注意構(gòu)造出歸納假設(shè)來(lái)，用上假設(shè)證明出．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)用a，b，c，d四個(gè)不同字母組成一個(gè)含n+1（n∈N+）個(gè)字母的字符串，要求由a開始，相鄰兩個(gè)字母不同．例如n=1時(shí)，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2時(shí)排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如圖所示．記這含n+1個(gè)字母的所有字符串中，排在最后一個(gè)的字母仍是a的字符串的種數(shù)為an．
（1）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：an=
3n+3(-1)n
4
(n∈N*，n≥1)；
（2）現(xiàn)從a，b，c，d四個(gè)字母組成的含n+1（n∈N*，n≥2）個(gè)字母的所有字符串中隨機(jī)抽取一個(gè)字符串，字符串最后一個(gè)的字母恰好是a的概率為P，求證：
2
9
≤P≤
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n（n≥2，n∈N*）
（1）當(dāng)n=5時(shí)，求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值．
（2）設(shè)bn=
a2
2n-3
，Tn=b2+b3+b4+…+bn．試用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=
n(n+1)(n-1)
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且有a3-a6+a10-a12+a15=20，a7=14．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及其前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅱ）記數(shù)列{
1
S
2
n
}的前n項(xiàng)和為Tn，試用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意n∈N*，都有Tn≤
3
4
-
1
n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=anan+1an+2（n∈N*），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn．
（1）若數(shù)列{an}的公差d等于首項(xiàng)a1，試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意n∈N*，都有Sn=
b1an+34d
；
（2）若數(shù)列{an}滿足：3a5=8a12＞0，試問(wèn)n為何值時(shí)，Sn取得最大值？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)一模）已知a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，數(shù)列{an}、{bn}滿足a1=1，a2=-6a，an+1=6an-9an-1(n≥2，n∈N*)，bn=an+1-ban(n∈N*)．
（1）求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（3）若{cn}滿足c1=1，c2=5，cn+2=5cn+1-6cn(n∈N*)，試用數(shù)學(xué)歸納法證明：cn +acn-1=
an3n-2
(n≥2，n∈N*)．

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