【題目】

已知函數(shù)，且。

（I）試用含的代數(shù)式表示；

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點。

【答案】（I）

（Ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。

（Ⅲ）證明見解析。

【解析】

試題（Ⅰ）從導(dǎo)數(shù)出發(fā)，利用即得與的關(guān)系式：（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，關(guān)鍵研究導(dǎo)函數(shù)零點分布情況：因為導(dǎo)函數(shù)有兩個零點：，，因此需分三種情況進行討論，此時最容易遺漏相等的情況（Ⅲ）先根據(jù)極值求出、的坐標(biāo)，再聯(lián)立方程確定線段MN與曲線的交點，由易得，因此線段與曲線存在異于、的公共點

試題解析：解：（Ⅰ）依題意得，由得…2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

故，令，則或

①當(dāng)時，，當(dāng)變化時，的變化情況如下表

可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。

②當(dāng)時，，此時恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

③當(dāng)時，，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

（Ⅲ）當(dāng)時，，，。

由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，

函數(shù)在處取得極值，故

直線的方程為

由得

令，易得

的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，

故在內(nèi)存在零點，這表明線段與曲線有異于的公共點

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【題目】選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系下，已知圓O：和直線

（1）求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；

（2）當(dāng)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo)．

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（1）若函數(shù)在點處的切線方程為，求的值；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，證明：成等差數(shù)列；

（3）若函數(shù)有三個零點，對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．

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已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是：

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程.

（2）點是曲線上的動點，求點到直線距離的最大值與最小值.

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【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求實數(shù)的最大值；

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【題目】某快遞公司收取快遞費用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費元；重量超過的包裹，除收費元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需再收元.該公司將最近承攬的件包裹的重量統(tǒng)計如下：

包裹重量（單位： ）

包裹件數(shù)

公司對近天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：

包裹件數(shù)范圍

包裹件數(shù)

（近似處理）

天數(shù)

以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.

（1）計算該公司未來天內(nèi)恰有天攬件數(shù)在之間的概率；

（2）（i）估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；

（ii）公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用.目前前臺有工作人員人，每人每天攬件不超過件，工資元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減人，試計算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利？

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)且，，，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線與曲線分別交于點，，求的最大值．

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（1）若，求直線以及曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線交于兩點，且，求直線的斜率.

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A.[，+∞）B.（3，]C.[3，+∞）D.

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