Question

命題A：一元二次方程ax²+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根；命題B：ac＜0，那么B是A的（　�。�

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：根據(jù)韋達(dá)定理，我們先判斷出命題A：一元二次方程ax²+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根⇒命題B：ac＜0，為真命題，即B是A的必要條件；再由一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△符號(hào)的關(guān)系，及韋達(dá)定理，判斷出命題B：ac＜0⇒命題A：一元二次方程ax²+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根也為真命題，進(jìn)而得到答案．

解答：解：若一元二次方程ax²+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根
由韋達(dá)定理可得，此時(shí)x₁•x₂=

c

a

＜0，
此時(shí)ac＜0
即B是A的必要條件；
若ac＜0，
此時(shí)一元二次方程ax²+bx+c=0的△＞0，此時(shí)方程有兩個(gè)不等的根
由韋達(dá)定理可得此時(shí)x₁•x₂=

c

a

＜0
即方程兩個(gè)根的符號(hào)相反
即一元二次方程ax²+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根
故B是A的充分條件
故B是A的充要條件
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是必要條件、充分條件與充要條件的判斷，一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△符號(hào)的關(guān)系，及韋達(dá)定理，其中分別判斷命題A⇒命題B與命題B⇒命題A的真假，是解答本題的關(guān)鍵．