Question

3．關(guān)于x的不等式|sinx|+$\sqrt{3}$|cosx|＜$\sqrt{3}$的解集為（kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{2π}{3}$），k∈Z．

Answer 1

分析 對(duì)角x的終邊分類去絕對(duì)值，然后利用輔助角公式化積，結(jié)合三角函數(shù)線求解三角不等式．

解答 解：當(dāng)x的終邊落在x軸上時(shí)，不等式不成立；
當(dāng)x的終邊落在y軸上時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)x的終邊落在第一象限時(shí)，原不等式化為sinx+$\sqrt{3}$cosx＜$\sqrt{3}$，即2sin（x+$\frac{π}{3}$）$＜\sqrt{3}$，
∴$sin（x+\frac{π}{3}）＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：$2kπ+\frac{π}{3}＜x＜2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$；
當(dāng)x的終邊落在第二象限時(shí)，原不等式化為sinx-$\sqrt{3}$cosx＜$\sqrt{3}$，即2sin（x-$\frac{π}{3}$）$＜\sqrt{3}$，
∴$sin（x-\frac{π}{3}）＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：$2kπ+\frac{π}{2}＜x＜2kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z$；
當(dāng)x的終邊落在第三象限時(shí)，原不等式化為-sinx-$\sqrt{3}$cosx＜$\sqrt{3}$，即-2sin（x+$\frac{π}{3}$）$＜\sqrt{3}$，
∴$sin（x+\frac{π}{3}）＞-\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：$2kπ+π+\frac{π}{3}＜x＜2kπ+π+\frac{π}{2}，k∈Z$；
當(dāng)x的終邊落在第四象限時(shí)，原不等式化為-sinx+$\sqrt{3}$cosx＜$\sqrt{3}$，即-2sin（x-$\frac{π}{3}$）$＜\sqrt{3}$，
∴sin（x-$\frac{π}{3}$）＞$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：$2kπ+π+\frac{π}{2}＜x＜2kπ+π+\frac{2π}{3}，k∈Z$．
綜上，原不等式的解集為：（kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{2π}{3}$），k∈Z．
故答案為：（kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{2π}{3}$），k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角恒等變換及其應(yīng)用，考查了三角不等式的解法，關(guān)鍵是熟練掌握輔助角公式及三角函數(shù)線的應(yīng)用，是中檔題．