Question

已知：函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x＞0時，f（x）＞0；對于任意的x，y∈[0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，則不等式f（x）＜6的解集為

 

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Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題設條件對任意x₁、x₂在所給區(qū)間內(nèi)比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小即可，判斷函數(shù)在[0，+∞）的單調(diào)性，根據(jù)f（1）=2和恒等式求出f（3）=6，再由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f（|x|）＜f（3），再利用函數(shù)的單調(diào)性即可解得不等式的解集．

解答： 解：任取0≤x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時，f（x）＞0，∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）=f（x）+f（y），即f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，．
由f（x+y）=f（x）+f（y）、f（1）=2得，
f（2）=f（1）+f（1）=4，則f（3）=f（1）+f（2）=6，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴不等式f（x）＜6等價轉(zhuǎn)化為f（|x|）＜f（3），
根據(jù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴|x|＜3，解得-3＜x＜3，
則不等式f（x）＜6的解集為：（-3，3），
故答案為：（-3，3）．

點評：本題考點是抽象函數(shù)及其應用，及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用單調(diào)性解不等式問題．此類題要求答題者有較高的數(shù)學思辨能力，能從所給的條件中尋找到證明問題的關(guān)鍵點出來．屬于中檔題．