拋物線y2=2px（p＞0）上的點(diǎn)T（3，t）到焦點(diǎn)F的距離為4．
（1）求
t
p
的值；
（2）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M．問：是否存在過M的直線l交拋物線于A、B（B在A的右側(cè)）兩點(diǎn)，使得直線AF⊥OB？若存在，求出△AFB的面積．
考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由拋物線的定義，得4=3+
p
2
，即可得到拋物線方程和T的坐標(biāo)；
（2）假設(shè)存在過M的直線l交拋物線于A、B（B在A的右側(cè)）兩點(diǎn)，使得直線AF⊥OB．
設(shè)直線AB：y=k（x+1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立拋物線方程，消去y，注意判別式大于0，運(yùn)用韋達(dá)定理，由AF⊥OB得到
y1
x1-1
•
y2
x2
=-1．化簡(jiǎn)整理即可得到k，從而求出x1，x2，求得AF，BF，AB，求得△ABF的面積．
解答： 解：（1）由于拋物線y2=2px（p＞0）上的點(diǎn)T（3，t）
到焦點(diǎn)F的距離為4，由拋物線的定義，得4=3+
p
2
，p=2，
即有y2=4x，T（3，±2
3
），
則
t
p
=±
3
；
（2）假設(shè)存在過M的直線l交拋物線于A、B（B在A的右側(cè)）兩點(diǎn)，使得直線AF⊥OB．
M（-1.0），F(xiàn)（1，0），設(shè)直線AB：y=k（x+1），
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立拋物線方程，消去y，
得k2x2+（2k2-4）x+k2=0，△=（2k2-4）2-4k4＞0，即k2＜1．
則x1+x2=
4
k2
-2，x1x2=1．由AF⊥OB得到
y1
x1-1
•
y2
x2
=-1．
y1y2+x1x2-x2=0，即k2（x1+1）（x2+1）+x1x2-x2=0，即k2（x1+x2+x1x2+1）+1-x2=0，
k2（2+
4
k2
-2）+1-x2=0，則x2=5，x1=
1
5
，5+
1
5
=
4
k2
-2，k2=
5
9
＜1，則k=±
5
3
．
故存在這樣的直線為y=±
5
3
（x+1）．
AF=
1
5
+1=
6
5
，BF=5+1=6，AB2=BF2-AF2=36-
36
25
=
36×24
25
，
故S△ABF=
1
2
AF•AB=
1
2
×
6
5
×
12
6
5
=
36
6
25
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程、定義和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理求解，注意檢驗(yàn)，是一道中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

兩圓（x-3）2+（y-1）2=r2和（x+2）2+（y+4）2=R2相交于P、Q兩點(diǎn)，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3），求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，
3
2
），離心率為
3
2
，又橢圓內(nèi)接四邊形ABCD（點(diǎn)A、B、C、D在橢圓上）的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)P（1，
1
4
），且
AP
=2
PC
，
BP
=2
PD
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線AB的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線C：y2=2px（p＞0），過拋物線C的焦點(diǎn)F（1，0）的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P．
（1）求證：|PF|2=|PA|•|PB|；
（2）過P作拋物線C的切線，切點(diǎn)為D（異于原點(diǎn)），是否存在常數(shù)λ，使得
1
kDA
+
1
kDB
=
λ
kDF
恒成立？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0且f（2）=6．
（1）求證：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）在區(qū)間[-4，4]上，求f（x）的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)
a
=（cos（2x+
π
3
），sinx），
b
=（1，sinx），f（x）=
a
•
b
，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別是a、b、c，若c=
6
，cosB=
1
3
，f（
C
2
）=-
1
4
，求b．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，且過（-3，-1）和（1，2）兩點(diǎn)，集合A={x|f（x）＜-1或f（x）＞2}，關(guān)于x的不等式（
1
2
）2x＞2-a-x（a∈R）的解集為B．
（1）求集合A；
（2）求使A∩B=B成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

中國(guó)首屆綠色運(yùn)動(dòng)會(huì)2011年10月18日至11月2日在安徽池州舉行．綠運(yùn)會(huì)期間，“上海城”舉辦了綠色產(chǎn)品展銷會(huì)，并在展銷會(huì)場(chǎng)設(shè)有購物滿50元就獲得一次有獎(jiǎng)摸球活動(dòng)．一個(gè)不透明的袋子中裝有大小相同的8個(gè)球，其中標(biāo)有1，2，3，4數(shù)字的球各2個(gè)，現(xiàn)從中任意抽取2個(gè)，用ξ表示抽取的這兩個(gè)球上的數(shù)字之和．求：
（Ⅰ）抽取的兩個(gè)球的數(shù)字均不相同的概率；
（Ⅱ）ξ的概率分布與期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
①半徑為2，圓心角的弧度數(shù)為
1
2
的扇形的周長(zhǎng)為5；
②函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
3
）（x∈R）的表達(dá)式可改寫為f（x）=cos（2x-
π
6
）；
③函數(shù)y=tan3x的定義域是{x|x≠kπ+
π
6
，k∈Z}；
④函數(shù)f（x）=3sin（2x-
π
3
）的圖象關(guān)于直線x=
11
12
π對(duì)稱．
其中真命題的序號(hào)是
 
．

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