Question

已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）①求證：函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，證明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅱ）已知不等式ln（x+1）＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，求證：…．

Answer 1

解（Ⅰ）①∵，∴
∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
從而有在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②由①知在（0，+∞）上是增函數(shù)，當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，有，
于是有：，
兩式相加得：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）
（Ⅱ）由（Ⅰ）②可知：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂），（x₁＞0，x₂＞0）恒成立
由數(shù)學(xué)歸納法可知：x_i＞0（i=1，2，3，…，n）時(shí)，有：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_n）（n≥2）恒成立
設(shè)f（x）=xlnx，則，則x_i＞0（i=1，2，3，…，n）時(shí)，x₁lnx₁+x₂lnx₂+…+x_nlnx_n＜（x₁+x₂+…+x_n）ln（x₁+x₂+…+x_n）（n≥2）（*）恒成立
令，記
又，
又，且ln（x+1）＜x
∴（x₁+x₂+…+x_n）ln（x₁+x₂+…+x_n）＜（x₁+x₂+…+x_n）ln（1-）＜-（x₁+x₂+…+x_n）＜-（-）=- （**）
將（**）代入（*）中，可知：-（）
于是
分析：（I）①先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，求函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合已知證明導(dǎo)函數(shù)g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即可證明其在（0，+∞）上是增函數(shù)；②利用①的結(jié)論，且x₁＞0，x₂＞0時(shí)，x₁+x₂＞x₁，且x₁+x₂＞x₂，得，從中解出f（x₁）、f（x₂）即可證得結(jié)論；（II）構(gòu)造一個(gè)符合條件的函數(shù)f（x）=xlnx，利用（I）的結(jié)論，得x₁lnx₁+x₂lnx₂+…+x_nlnx_n＜（x₁+x₂+…+x_n）ln（x₁+x₂+…+x_n）（n≥2），令，再將放縮，即可證得所證不等式
點(diǎn)評：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，以及利用函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造數(shù)列證明數(shù)列不等式的方法，難度較大