Question

給出下列5個函數(shù)：（1）y=2^x；（2）y=log

1

3

x；（3）y=log₂x；（4）y=x²；（5）y=e^x．當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時，使f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立的函數(shù)序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因為“當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時，使f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立”所以f（x）在（0，1）上是“上凸”函數(shù)，根據(jù)給的五個基本初等函數(shù)的圖象可以判斷．

解答： 解：因為“當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時，使f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立”，即在（0，1）上，任取兩點A（x₁，f（x₁），B（x₂，f（x₂）），
則線段AB中點的坐標(biāo)為M（

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

），函數(shù)f（x）的圖象上與M有相同橫坐標(biāo)的點N（

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

)），
當(dāng)N點在M點上方時，則f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，此時函數(shù)圖象“上凸”；
反之，當(dāng)N點在M點下方時，則f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，此時函數(shù)圖象“下凹”；
由題意，此題要求得是“上凸函數(shù)”，根據(jù)y=2^x，y=log

1

3

x，y=log₂x，y=x²，y=e^x的圖象可知y=log₂x的圖象在（0，1）上是“上凸”的．
故答案為（3）

點評：這是一個教材改編題，通過考查函數(shù)的“凹凸性”，重點考查學(xué)生借助于圖象來理解、解釋函數(shù)的性質(zhì)的能力，培養(yǎng)了學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力．