已知函數(shù)f（x）=6lnx-ax2-8x+b，其中a，b為常數(shù)且x=3是f（x）的一個極值點．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）若y=f（x）的圖象與x軸有且只有3個交點，求b的取值范圍．
（1）∵f（x）=6lnx-ax2-8x+b，
∴f′（x）=
6
x
-2ax-8，
又∵x=3是f（x）的一個極值點
∴f′（3）=2-6a-8=0，
則a=-1．
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
由（I）知f（x）=6lnx+x2-8+b．
∴f′（x）=
6
x
+2x-8=
2(x2-4x-3)
x
．
由f′（x）＞0可得x＞3或x＜1，由f′（x）＜0可得1＜x＜3．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3）．
（3）由（Ⅱ）可知函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，3）單調(diào)遞減，在（3，+∞）單調(diào)遞增．
且當(dāng)x=1或x=3時，f′（x）=0．
∴f′（x）的極大值為f（1）=6ln1+1-8+b=b-7，
f′（x）的極大值為f（3）=6ln3+9-24+b=6ln3+b-15．
∵當(dāng)x充分接近0時，f′（x）＜0．當(dāng)x充分大時，f（x）＞0．
∴要使的f′（x）圖象與x軸正半軸有且僅有三個不同的交點，只
需f（1）•f（3）＜0
即（b-7）•（6ln3+b-15）＜0
解得：7＜b＜15-6ln3
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（x+
π
6
）-cos2x+m．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-
π
4
，
π
4
]時，函數(shù)f（x）的最小值為-3，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f （x）=2sin2(
π
4
+x)-
3
cos2x-1，x∈R．
（1）若函數(shù)h （x）=f （x+t）的圖象關(guān)于點(-
π
6
，0)對稱，且t∈（0，π），求t的值；
（2）設(shè)p：x∈[
π
4
，
π
2
]，q：|f（x）-m|≤3，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2
3
sinxcosx+1-2sin2x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的
1
2
，把所得到的圖象再向左平移
π
6
單位，得到的函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，
π
8
]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R）的圖象的一部分如圖所示，其A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
，為了得到函f（x）的圖象，只要將函數(shù)g（x）=2cos2
x
2
-2sin2
x
2
（x∈R）的圖象上所有的點（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
6-ax
a-2
（a∈R）
①若a＞0，則f（x）的定義域是
（-∞，
6
a
]
（-∞，
6
a
]
；
②若f（x）在區(qū)間（0，2]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是
（-∞，0）∪（2，3]
（-∞，0）∪（2，3]
．

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