Question

6．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，第一年投入資金1 000 萬元，出售產(chǎn)品收入 40 萬元，預(yù)計以后每年的投入資金是上一年的一半，出售產(chǎn)品所得收入比上一年多 80 萬元，同時，當(dāng)預(yù)計投入的資金低于 20 萬元時，就按 20 萬元投入，且當(dāng)年出售產(chǎn)品收入與上一年相等．
（Ⅰ）求第n年的預(yù)計投入資金與出售產(chǎn)品的收入；
（Ⅱ）預(yù)計從哪一年起該公司開始盈利？（注：盈利是指總收入大于總投入）

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)第n年的投入資金和收入金額分別為a_n萬元，b_n萬元，根據(jù)題意可得{a_n}是首項為1000，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，{b_n}是首項為40，公差為80的等差數(shù)列，問題得以解決，
（Ⅱ）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的求和公式得到S_n，再根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特征，即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)第n年的投入資金和收入金額分別為a_n萬元，b_n萬元，
依題意得，當(dāng)投入的資金不低于20萬元，即a_n≥20，a_n=$\frac{1}{2}$a_n+1b_n=b_n+1+80，n≥2，
此時{a_n}是首項為1000，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
{b_n}是首項為40，公差為80的等差數(shù)列，
所以a_n=1000×（$\frac{1}{2}$）^n-1，b_n=80n-40，
令a_n＜20，得2^n-1＞50，解得n≥7
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1000×（\frac{1}{2}）^{n-1}，1≤n≤6}\\{20，n≥7}\end{array}\right.$，$bn=\left\{\begin{array}{l}80n-40，1≤n≤6\\ 440，n≥7\end{array}\right.$
（Ⅱ）S_n=$\frac{n[40+（80n-40）]}{2}$-$\frac{1000×[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=2000×（$\frac{1}{2}$）ⁿ+40n²-2000，
所以S_n-S_n-1=-2000×（$\frac{1}{2}$）ⁿ+80n-40，n≥2，
因為f（x）=-2000×（$\frac{1}{2}$）^x+80x-40為增函數(shù)，f（3）＜0，f（4）＜0，
所以當(dāng)2≤n≤3時，S_n+1＞S_n，當(dāng)4≤n≤6時，S_n+1＜S_n，
又因為S₁＜0，S₆=-528.75＜0，
所以1≤n≤6，S_n＜0，即前6年未盈利，
當(dāng)n≥7，S_n=S₆+（b₇-a₇）+（b₈-a₈）+…+（b_n-a_n）=-528.75+420（n-6），
令S_n＞0，得n≥8
綜上，預(yù)計公司從第8年起開始盈利．

點評 本題的考點是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查函數(shù)模型的構(gòu)建，關(guān)鍵是從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，屬于中檔題