Question

（2013•北京）已知點(diǎn)A（1，-1），B（3，0），C（2，1）．若平面區(qū)域D由所有滿足

AP

=λ

AB

+μ

AC

（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的點(diǎn)P組成，則D的面積為

3

．

Answer 1

分析：設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)

AP

=λ

AB

+μ

AC

，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算解出

λ= 2 3 x- 1 3 y-1 μ=- 1 3 x+ 2 3 y+1

，再由1≤λ≤2、0≤μ≤1得到關(guān)于x、y的不等式組，從而得到如圖的平行四邊形CDEF及其內(nèi)部，最后根據(jù)坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式即可算出平面區(qū)域D的面積．

解答：解：設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），則

AB

=（2，1），

AC

=（1，2），

AP

=（x-1，y+1），
∵

AP

=λ

AB

+μ

AC

，
∴

x-1=2λ+μ y+1=λ+2μ

，解之得

λ= 2 3 x- 1 3 y-1 μ=- 1 3 x+ 2 3 y+1

∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴點(diǎn)P坐標(biāo)滿足不等式組

1≤ 2 3 x- 1 3 y-1≤2 0≤- 1 3 x+ 2 3 y+1≤1

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的平行四邊形CDEF及其內(nèi)部
其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F(xiàn)（3，0）
∵|CF|=

(4-3)2+(2-0)2

=

5

，
點(diǎn)E（5，1）到直線CF：2x-y-6=0的距離為d=

|2×5-1-6|

5

=

3 5

5

∴平行四邊形CDEF的面積為S=|CF|×d=

5

×

3 5

5

=3，即動(dòng)點(diǎn)P構(gòu)成的平面區(qū)域D的面積為3
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題在平面坐標(biāo)系內(nèi)給出向量等式，求滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成的平面區(qū)域D的面積．著重考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．