已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且以拋物線的準線為雙曲線的一條準線．動直線過雙曲線的右焦點且與雙曲線的右支交于兩點．

（1）求雙曲線的方程；

（2）無論直線繞點怎樣轉(zhuǎn)動，在雙曲線上是否總存在定點，使恒成立？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

解：（1）設(shè)，則由題意有：

   ∴，，

故雙曲線的方程為，                         …………… 4分

（2）解法一：由（1）得點為

當直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程，，

將方程與雙曲線方程聯(lián)立消去得：，

∴    解得                   …………… 6分

 假設(shè)雙曲線上存在定點，使恒成立，設(shè)為

則：

∵，∴，

故得：對任意的恒成立，

∴，解得

∴當點為時，恒成立；                …………… 10分

當直線l的斜率不存在時，由，知點使得也成立．

又因為點是雙曲線的左頂點，                   

所以雙曲線上存在定點，使恒成立．  …………… 12分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線與橢圓有公共的焦點為F1（0，-4），F(xiàn)2（0，4），它們的離心率之和為
145
，P為橢圓上一點，△PF1F2的周長為18
（1）求橢圓的離心率和橢圓的標準方程．
（2）求雙曲線的標準方程．

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(13分) （理科）已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且以拋物線的準線為雙曲線的一條準線．動直線過雙曲線的右焦點且與雙曲線的右支交于兩點．

（1）求雙曲線的方程；

（2）無論直線繞點怎樣轉(zhuǎn)動，在雙曲線上是否總存在定點，使恒成立？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年安徽省六安一中高三（下）第六次月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知雙曲線與橢圓有公共的焦點，并且橢圓的離心率與雙曲線的離心率之比為，求雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年重慶十一中高考數(shù)學(xué)一模訓(xùn)練試卷（二）（解析版） 題型：解答題

已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且以拋物線y2=2x的準線為雙曲線C的一條準線．動直線l過雙曲線C的右焦點F且與雙曲線的右支交于P、Q兩點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）無論直線l繞點F怎樣轉(zhuǎn)動，在雙曲線C上是否總存在定點M，使MP⊥MQ恒成立？若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

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