Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿(mǎn)足a₁=1，a₂=3，，b_n=a_n+1-a_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足c_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），求

Answer 1

解：（1）∵，又b₁=a₂-a₁=3-1=2．
所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=2，公比q=2的等比數(shù)列．故b_n=b₁q^n-1=2ⁿ
（2）a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=．
（3）c_n=log₂（a_n+1）=log₂（2ⁿ-1+1）=log₂2ⁿ=n，（n∈N^*），
∴
∴==
分析：（1）由題意可知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=2，公比q=2的等比數(shù)列．故b_n=b₁q^n-1=2ⁿ．
（2）由a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*）可知a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）根據(jù)題意，可知，由此能夠求出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，具有一定的難度，解題時(shí)要注意公式的合理選用．