Question

已知一個(gè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)是1或2．首項(xiàng)為1，且在第k個(gè)1和第k+1個(gè)1之間有f（k）個(gè)2，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為S_n．
（1）若f（k）=2^k-1，求S₁₀₀；
（2）若f（k）=2k-1，求S₂₀₁₁．

Answer 1

分析：（1）由f（k）=2^k-1，可確定數(shù)列為1，2，1，2，2，1，2，2，2，1…，分組：第k個(gè)1與其后面的k個(gè)2組成第k組，其組內(nèi)元素個(gè)數(shù)記為b_k，則bk=2k-1+1，并確定所加的項(xiàng)的規(guī)律，結(jié)合數(shù)列的求和公式可求和，
（2）由f（k）=2k-1，可確定數(shù)列為1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1…，分組：第k個(gè)1與其后面的k個(gè)2組成第k組，其組內(nèi)元素個(gè)數(shù)記為b_k，則b_k=2k，同理可求

解答：解：（1）若f（k）=2^k-1，則數(shù)列為1，2，1，2，2，1，2，2，2，1…
記第k個(gè)1與其后面的k個(gè)2組成第k組，其組內(nèi)元素個(gè)數(shù)記為b_k，則bk=2k-1+1…（2分）
又當(dāng)k=6時(shí)，b₁+b₂+…+b₆=2+3+5+9+17+33=69＜100
但當(dāng)k=6時(shí)，b₁+b₂+…+b₇=2+3+5+9+17+33+65=134＞100…（5分）
所以前100項(xiàng)中由前6組以及第7組的部分元素構(gòu)成，故有7個(gè)1和93個(gè)2，
從而S₁₀₀=7+93×2=193…（7分）
（2）若f（k）=2k-1，則數(shù)列為1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1…
記第k個(gè)1與其后面的k個(gè)2組成第k組，其組內(nèi)元素個(gè)數(shù)記為b_k，則b_k=2k…（11分）
令b₁+b₂+…+b_n=2+4+…+2n=n（n+1）＜2011，
而44×45=1980＜2011，45×46=2070＞2011
故n=44，即前2011項(xiàng)中有45個(gè)以及1966個(gè)2，所以S₂₀₁₁=45+1966×2=3977…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合已知確定數(shù)列的項(xiàng)的特點(diǎn)．