Question

正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱和底面邊長都等于2

2

，則它的外接球的表面積是（　　）

• A、16π
• B、64π
• C、

  16π

  3

• D、

  64π

  3

Answer 1

分析：先畫出圖形，正四棱錐外接球的球心在它的底面的中心，然后根據(jù)勾股定理解出球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式即可求解．

解答：解：如圖，設(shè)正四棱錐底面的中心為O₁，設(shè)外接球的球心為O，
則O在正三棱錐的高PO上．
在直角三角形ABC中，AC=

2

AB=

2

×2

2

=4，
AO₁=2，則高PO₁=

AP2-A O 2 1

=

(2 2 )2-22

=

8-4

=

4

=2，
則OO₁=PO₁-R=2-R，OA=R，
在直角三角形AO₁O中，R²=（2-R）²+2²，
解得R=2．
即正四棱錐外接球的球心在它的底面的中心O₁O，且球半徑R=2，
球的表面積S=4πr²=16π
故選A．

點評：本題主要考查球的表面積，考查計算能力和空間想象能力，屬于中檔題．