Question

已知x²-20x+64≤0的解集為A，當x∈A時f(x)=log2

x

8

•lo

g

2

x

4

的值域為B．
（1）求集合B；
（2）當x∈B時不等式1+2^x+4^xa≥0恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）先化簡集合A，再利用對數的運算法則，化簡函數，利用換元法，轉化為二次函數的最值，求出集合B；
（2）分離參數，將當x∈B時不等式1+2^x+4^xa≥0恒成立，轉化為a≥g（x）_max即可．

解答：解：（1）A={x|4≤x≤16}
f（x）=（log₂x-3）（log₂x-2）=（log₂x）²-5log₂x+6
令t=log₂x，則t∈[2，4]，y=t2-5t+6=(t-

5

2

)2-

1

4

∵t∈[2，4]，
∴t=

5

2

時，y取得最小值-

1

4

，t=4時，y取得最大值2
∴B=[-

1

4

，2]
（2）分離參數可得：a≥-(

1

4

)x-(

1

2

)x
設g(x)=-(

1

4

)x-(

1

2

)x
當x∈B時不等式1+2^x+4^xa≥0恒成立，可轉化為a≥g（x）_max
∵g(x)=-(

1

4

)x-(

1

2

)x在[-

1

4

，2]上遞增
∴g(x)max=g(2)=-

5

16

∴a≥-

5

16

點評：本題以集合為載體，考查函數的值域，考查恒成立問題，解題的關鍵是轉化為二次函數的最值，利用分離參數法解決恒成立問題．