雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)A，x軸上有一點(diǎn)Q（2a，0），若C上存在一點(diǎn)P，使
AP
•
PQ
=0，求此雙曲線的離心率的取值范圍．
考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：點(diǎn)P（m，n），利用數(shù)量積為零算出（m-a）（2a-m）-n2=0，結(jié)合點(diǎn)P（m，n）在雙曲線上消去n，得關(guān)于m的一元二次方程：（m-a）（2a-m）-b2（
m2
a2
-1）=0，此方程的一個(gè)根為a，而另一個(gè)根為大于a的實(shí)數(shù)，由此建立關(guān)于a、b、c不等式關(guān)系，化簡(jiǎn)整理即可得到離心率e的取值范圍．
解答： 解：設(shè)點(diǎn)P（m，n），可得
AP
=（m-a，n），
PQ
=（2a-m，-n）
∵
AP
•
PQ
=（m-a）（2a-m）-n2=0（1）
又∵P（m，n）在雙曲線上，
∴
m2
a2
-
n2
b2
=1，得n2=b2（
m2
a2
-1）（2）
將（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b2（
m2
a2
-1）=0，
化簡(jiǎn)整理，得-
c2
a2
m2+3am+c2-3a2=0
此方程的一根為m1=a，另一根為m2=
3a3-ac2
c2
．
∵點(diǎn)P是雙曲線上異于右頂點(diǎn)A的一點(diǎn)，
∴
3a3-ac2
c2
＞a，得3a2＞2c2，即e2＜
3
2

由此可得雙曲線的離心率e滿足1＜e＜
6
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線上存在一點(diǎn)P，到A（a，0）和Q（2a，0）所張的角等于90度，求雙曲線離心率的取值范圍，著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與雙曲線關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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sin10°cos10°cos20°cos40°cos80°=
 
．

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已知sin（5π-θ）+sin（
5
2
π-θ）=
7
2
．求：sin3（
π
2
+θ）-cos3（
3
2
π-θ）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

y=
|x2-1|
x-1
的圖象與y=k恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求k的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，非零向量
m
=（a，b），則稱(chēng)
m
為f（x）的“相伴向量”，f（x）為
m
的“相伴函數(shù)”
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx-2（ω≥0）的最小正周期為2π，求f（x）的“相伴向量”
m
的模；
（Ⅱ）向量
n
=(n，1)的“相伴函數(shù)”為g（x），且
n
與（1）中
m
滿足
n
•
m
=1+
3
．將g（x）圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)2倍，再將圖象向左平移
2π
3
個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)h（x），若h(2α+
π
3
)=
6
5
，α∈(0，
π
2
)，求sinα．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+
1
2
ax2-2bx
（Ⅰ）當(dāng)a=-3，b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-
1
2
ax2+2bx+
a
x
（
1
2
≤x≤3），其圖象上存在一點(diǎn)P（x0，y0），使此處切線的斜率k≤
1
2
，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=0，b=-
1
2
，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為ρcosθ+
3
ρsinθ=1與ρ=2cos(θ+
π
3
)，它們相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
x2-4x+2，x≥0
3x+1，x＜0
，若互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）=f（x2）=f（x3），則x1+x2+x3
的取值范圍是（　　）
A、（3，4]
B、（
11
3
，4）
C、（
11
3
，4]
D、（3，4）

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