如圖棱長是1的正方體，P、Q分別是棱AB、CC1上的點，且
AP
PB
=
CQ
QC1
=2．
（1）求證：A1P⊥平面AQD；
（2）求直線PQ與平面AQD所成角的正弦值．
分析：（1）要證A1P⊥平面AQD，只需要證明A1P⊥AD，AR⊥A1P，利用三角形的全等可得AR⊥A1P，從而得證．
（2）求直線PQ與平面AQD所成角的正弦值，關鍵是尋找斜線PQ在平面內的射影，由（1）易得A1P與AR交于點S，連接SQ，則∠PQS即為PQ與平面AQD所成角，從而可解．
解答：證明：（1）平面AQD與側棱B1B的交點是R，
顯然
BR
RB1
=2，在正方形ABB1A1中
由
AP
PB
=
BR
RB1
=2可得△A1AP≌△ABR
所以AR⊥A1P，
又AA1⊥平面ABCD，AP⊥AD，得A1P⊥AD，
∴A1P⊥平面AQD
（2）設A1P與AR交于點S，連接SQ，則∠PQS=θ即為PQ與平面AQD所成角．
在Rt△PQS中，|PS|=
4
3
13
，|PQ|=
14
3
，∴sinθ=
|PS|
|PQ|
=
4
182
=
2
182
91
，
即直線PQ與平面AQD所成角的正弦值是
2
182
91
．
點評：本題的考點是直線與平面所成的角，主要考查線面垂直，考查線面角，關鍵是利用線面垂直的定義，尋找斜線在平面內的射影．
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AP
PB
=
CQ
QC1
=2．
（1）求證：A1P⊥平面AQD；
（2）求直線PQ與平面AQD所成角的正弦值．
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