Question

如果f（x₀）是函數(shù)f（x）的一個極值，稱點（x₀，f（x₀））是函數(shù)f（x）的一個極值點．已知函數(shù)f（x）=（ax-b）e

a

x

（x≠0且a≠0）
（1）若函數(shù)f（x）總存在有兩個極值點A，B，求a，b所滿足的關系；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個極值點A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的區(qū)域內時實數(shù)b的范圍．
（3）若函數(shù)f（x）恰有一個駐點A，且存在a∈R，使A在不等式

|x|＜1 |y|＜e2

表示的區(qū)域內，證明：0≤b＜1．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)求導，若函數(shù)f（x）總存在有兩個極值點?f′（x）=0有兩個根，從而確定a，b的關系
（2）轉化為在（-1，1）內f′（x）=0有兩個不等實根
結合（1）及根的分布可知，

a2＜4b -1＜ a 2 ＜1 f′(1)＞0 f′(-1)＞0

?

a2＜4b -2＜a＜2 a+b+1＞0 a-b-1＜0

，從而求b的取值范圍
（3）若函數(shù)f（x）恰有一個極值點且存在a∈R，使A在不等式①

|x ＜1 |y|＜e

?x²-ax+b=0的根在①的區(qū)域內只有一個，結合根的分別可求結果．

解答：解：（1）f′(x)=a•e

a

x

+(ax-b)(-

a

x2

)•e

a

x

令f'（x）=0得x²-ax+b=0
∵函數(shù)f（x）總存在有兩個極值點
∴x²-ax+b=0由2個不同的實數(shù)根
∴a²-4b＞0
又∵a≠0且x≠0
∴b＜

a2

4

且b≠0（3分）
（2）x²-ax+b=0在（-1，1）有兩個不相等的實根．
即

△=a2-4b＞0 -1＜ a 2 ＜1 1+a+b＞0 1-a+b＞0

得

4b＞a2 a2＜4 b＜-1

∴-1＜b＜1且b≠0（7分）
（3）由①f'（x）=0?x²-ax+b=0（x≠0）
①當b=0f′(x)=a•e

a

x

•

x2-ax+b

x2

在x=a左右兩邊異號
∴（a，f（a））是y=f（x）的唯一的一個極值點
由題意知

-1＜a＜1且a≠0 -e＜(a2-b)e＜e

即

0＜a2＜1 -1＜a2＜1

即0＜a²＜1
存在這樣的a的滿足題意
∴b=0符合題意（9分）
②當b≠0時，f′（x）=

a•e a x

x2

(x2-ax+b)
△=a²-4b=0即4b=a²
這里函數(shù)y=f（x）唯一的一個駐點為(

a

2

，f(

a

2

))
由題意

| 1 2 a|＜1且a≠0 -e＜ a2 2 -b＜e

即

0＜a2＜4 -e 1 2 ＜ a2 2 -b＜e 1 2

即

0＜4b＜4 -e 1 2 ＜b＜e 1 2

∴0＜b＜1（13分）
綜上知：滿足題意b的范圍為b∈[0，1）．（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件及有限制條件的極值的取值，結合二次函數(shù)的圖象，轉化為實根分布問題．