Question

在平面幾何中，對(duì)于Rt△ABC，設(shè)AB=c,AC=b,BC=a，則

（1）a²+b²=c²；

（2）cos²A+cos²B=1；

（3）Rt△ABC的外接圓半徑為r=.

    把上面的結(jié)論類比到空間寫出相類似的結(jié)論；如果你能證明，寫出證明過程;如果在直角三角形中你還發(fā)現(xiàn)了異于上面的結(jié)論，試試看能否類比到空間？

Answer 1

思路解析：考慮到平面中的圖形是直角三角形，所以應(yīng)在空間中選取有三個(gè)面兩兩垂直的四面體來類比，利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，通過觀察四面體的結(jié)構(gòu)，比較二者的內(nèi)在聯(lián)系，從中類比出四面體的相似命題提出猜想.

解：選取3個(gè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對(duì)象.

(1)設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S₁、S₂、S₃，底面面積為S，則S₁²+S₂²+S₃²=S².

(2)設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為α、β、γ，則cos²α+cos²β+cos²γ=1.

(3)設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長(zhǎng)分別為a、b、c，則這個(gè)四面體的外接球的半徑R=.

    利用三角形的有關(guān)性質(zhì)，通過觀察四面體的結(jié)構(gòu)，比較二者的內(nèi)在聯(lián)系，從中類比出四面體的相似命題，提出猜想.