Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P、Q分別是正方形AA₁D₁D和A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）證明：PQ∥平面DD₁C₁C；
（2）求線段PQ的長；
（3）求PQ與平面AA₁D₁D所成的角．

Answer 1

分析：（1）直接由三角形中位線定理得線線平行，從而得線面平行；
（2）直接由三角形中位線等于底邊的一半得答案；
（3）由PQ∥DC₁，∴PQ、DC₁與平面AA₁D₁D所成的角相等，而DC₁與平面AA₁D₁D所成的角為∠C₁DD₁=45°，則答案可求．

解答：（1）證明：如圖，
連接A₁C₁，DC₁，則Q為A₁C₁的中點，
∴PQ∥DC₁，且PQ=

1

2

DC₁，
∴PQ∥平面DD₁C₁C；
（2）解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
∴DC1=

2

，
∴PQ=

1

2

DC₁=

2

2

；
（3）解：∵PQ∥DC₁，∴PQ、DC₁與平面AA₁D₁D所成的角相等，
∵DC₁與平面AA₁D₁D所成的角為∠C₁DD₁=45°，
∴PQ與平面AA₁D₁D所成的角為45°．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了線面角的計算，訓練了空間中點線面間的距離的計算，是中檔題．