Question

設(shè)函數(shù)R）在其圖象上一點(diǎn)A（2，m）處切線(xiàn)的斜率為-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（b-1，b）內(nèi)的極值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值是切線(xiàn)的斜率
（Ⅱ）導(dǎo)數(shù)為零處且其左右兩側(cè)符號(hào)相反是極值，注意極值是函數(shù)值，一定在定義域內(nèi)求．
解答：解：（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=x²-4x+a，
由題意，得f'（2）=-4+a=-1，
所以a=3，
故
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=x²-4x+3，
由f'（x）=x²-4x+3=0，得x=1，或x=3．
x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化如情況下表：

所以，當(dāng)b≤1或b-1≥3時(shí)，即b≤1或b≥4函數(shù)f（x）無(wú)極值
當(dāng)b-1＜1，且b＞1時(shí)，即1＜b＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在x=1時(shí)，有極大值，此時(shí)函數(shù)無(wú)極小值；
當(dāng)b-1＜3，且b＞3時(shí)，即3＜b＜4時(shí)，函數(shù)f（x）在x=3時(shí)，有極小值0，此時(shí)函數(shù)無(wú)極大值；
當(dāng)b-1≥1，且b≤3時(shí)，即2≤b≤3時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值．
故當(dāng)b∈（-∞，1]∪[2，3]∪[4，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值；
當(dāng)b∈（1，2）時(shí)，函數(shù)f（x）在x=1時(shí)，有極大值，此時(shí)函數(shù)無(wú)極小值；
當(dāng)b∈（3，4）時(shí)，函數(shù)f（x）在x=3時(shí)，有極小值0，此時(shí)函數(shù)無(wú)極大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)求極值．
導(dǎo)數(shù)是解決極值的唯一方法，函數(shù)中有參數(shù)時(shí)一般需討論．