Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若P 是橢圓上的一點，|

PF1

|+|

PF2

|=4，離心率e=

3

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，

PF1

•

PF2

=-

5

4

，求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過定點P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由|

PF1

|+|

PF2

|=4，結(jié)合橢圓定義可求a，由離心率e=

3

2

可求c，然后求出b即可求解橢圓C的方程
（2）由（1）的條件先表示

PF1

•

PF2

，然后結(jié)合橢圓方程及二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（3）由題意可設(shè)直線y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程可得x₁+x₂，x₁x₂，然后可求
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2），由△=16k2-12(k2+

1

4

)＞0及

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0可求k的范圍

解答：解：（1）∵|

PF1

|+|

PF2

|=4，離心率e=

3

2

∴2a=4，e=

c

a

=

3

2

∴a=2，c=

3

∴b²=1
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1
（2）由（1）可得F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)
∴

PF1

=(-

3

-x，-y)，

PF2

=(

3

-x，-y)
∴

PF1

•

PF2

=（-

3

-x）（

3

-x）+（-y）（-y）
=x²+y²-3
=x2+1-

x2

4

-3
=

1

4

(3x2-8)=-

5

4

∵x＞0
∴x=1
∵y＞0
∴y=

3

2

，故P（1，

3

2

）
（3）顯然直線x=0不滿足題設(shè)，可設(shè)直線y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

整理可得，（k2+

1

4

）x²+4kx+3=0
∴x₁+x₂=-

4k

k2+ 1 4

，x1x2=

3

k2+ 1 4

，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

1-k2

k2+ 1 4

由△=16k2-12(k2+

1

4

)＞0可得，k＞

3

2

或k＜-

3

2

∵∠AOB為銳角
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0
∴

1-k2

k2+ 1 4

+

3

k2+ 1 4

＞0
∴-2＜k＜2
綜上可得，

3

2

＜k＜2或-2＜k＜-

3

2

點評：本題主要考查了由橢圓性質(zhì)求解橢圓的方程，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于圓錐曲線的綜合應(yīng)用．