Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2，E為BD₁的中點，F(xiàn)為AB中點．
（1）求證：EF∥平面ADD₁A₁；
（2）若，求A₁F與平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD₁，利用三角形中位線定理證明EF∥AD₁，最后利用線面平行的判定定理證明EF∥平面ADD₁A₁即可；
（2）以D為原點，以DC所在直線為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，求平面DEF的一個法向量，則線面所成角的正弦值就是斜線和法向量夾角的余弦的絕對值
解答：解：（1）證明：連接AD₁，在△ABD₁中
∵E是BD₁的中點，F(xiàn)是BA中點，
∴EF∥AD₁
又EF?平面ADD₁A₁，AD₁?平面ADD₁A₁
∴EF∥平面ADD₁A₁．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyzz（DG為AB邊上的高）
則有A₁（，-，），F(xiàn)（，，0），D₁（0，0，），
B（，，0），
∴E（ ，， ），
設平面DEF的一個法向量為n=（x，y，z），
由，得
取x=1解得∴法向量
∵=（0，1，-），
設A₁F與平面DEF所成的角為θ，則
=
∴A₁F與平面DEF所成角的正弦值為．
點評：本題主要考查了線面平行的判定定理及其應用，直線與平面所成角的算法，空間直角坐標系及空間向量在解決立體幾何問題中的應用，有一定的運算量