（1）證明：函數(shù)f（x）=x3-x2+ln（x+1）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）證明：ln
2010
2009
＞
2008
20093
．
分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)f′（x），在（-1，+∞）上恒有f′（x）＞0，故得證；
（2）由（1）的單調(diào)性得到f(
1
2009
)＞f(0)=0，故f(
1
2009
)=-
2008
20093
+ln
2010
2009
＞0，得證．
解答：證明：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=x3-x2+ln（x+1），
f′(x)=3x2-2x+
1
x+1
=
3x3+(x-1)2
x+1
．---------------------（2分）
當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；-----------------------（4分）
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′(x)=3x2-2x+
1
x+1
＞0．-----------------------（6分）
故當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，總有f′（x）＞0．-----------------------（7分）
所以函數(shù)f（x）=x3-x2+ln（x+1）在區(qū)間（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．-----------------------（8分）
（2）由（1）知，f(
1
2009
)＞f(0)，-----------------------（10分）
而f（0）=0．-----------------------（11分）
f(
1
2009
)=
1
20093
-
1
20092
+ln(
1
2009
+1)=-
2008
20093
+ln
2010
2009
．-----------------------（14分）
于是-
2008
20093
+ln
2010
2009
＞0，即ln
2010
2009
＞
2008
20093
．-----------------------（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：
（1）確定 f（x）的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（3）在函數(shù) 的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；
（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
4x+2

（1）證明：函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)(
1
2
，
1
4
)對(duì)稱．
（2）求f(0)+f(
1
8
)+f(
2
8
)+…+f(
7
8
)+f(1)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a
2
-
2x
2x+1
（a為常數(shù)）
（1）證明：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=8ln（1+ex）-9x．
（1）證明：函數(shù)f（x）對(duì)于定義域內(nèi)任意x1，x2（x1≠x2）都有：f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
成立．
（2）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在函數(shù)y=f（x）的圖象上，且橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列，求證：△ABC是鈍角三角形，但不可能是等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江西模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=x-sinx，數(shù)列{an}滿足0＜a1＜1，an+1=f（an）．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（0，1）是增函數(shù)；
（2）求證：0≤an+1＜an＜1；
（3）若a1=
2
2
，求證：an≤
1
2n
（n≥2，n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)任意x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(
x+y
1-xy
)； ②當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＞0，回答下列問題．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（-1，1）上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并說明理由．
（3）證明：f(
1
7
)+f(
1
13
)+…+f(
1
n2+3n+3
)＞f(
1
2
)，（n∈Z）．

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