Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲線過(guò)原點(diǎn)，且在x=±1處的切線斜率均為-1，有以下命題：
①f（x）的解析式為：f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]； ②f（x）的極值點(diǎn)有且僅有一個(gè)；  ③f（x）的最大值與最小值之和等于零，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)榍�線過(guò)原點(diǎn)，所以c=0，因?yàn)樵趚=±1處的切線斜率均為-1，所以函數(shù)在x=±1處的導(dǎo)數(shù)等于-1，再利用導(dǎo)數(shù)等于0求極值點(diǎn)，以及函數(shù)的最大值與最小值，逐一判斷三個(gè)命題即可．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲線過(guò)原點(diǎn)，∴c=0
對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=±1處的切線斜率均為-1，∴f′（1）=1，f′（-1）=1，
即，3+2a+b=-1，3-2a+b=-1
解得a=0，b=-4
∴（x）=x³-4x，x∈[-2，2]，①正確．
f′（x）=3x²-4，令f′（x）=0，得，x=，∴f（x）的極值點(diǎn)有兩個(gè)，②錯(cuò)誤
f（-2）=0，f（-）=，f（）=-，f（2）=0
∴f（x）的最大值為，最小值為-，最大值與最小值之和等于零．③正確．
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，最大值與最小值，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的常規(guī)題．