Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax-b （a，b∈R）
（1）當a=b=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）是否存在a，b，使得對任意的x∈[0，1]成立？若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）=x³-x-1，先求其導函數(shù)f′（x）=3x²-1，由f′（x）＞0，得單調(diào)遞增區(qū)間；由f′（x）＜0，得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）假設存在這樣的a，b，使得對任意的x∈[0，1]成立，則①，兩式相加可得0＜＜3，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[]遞減，在區(qū)間[]遞增，
從而由此可得．因而可求出a=1，，使得對任意的x∈[0，1]成立．
解答：解：（1）f（x）=x³-x-1，f′（x）=3x²-1=0，x=，
x∈（）或x∈（）時f′（x）＞0，
x∈（）時f'（x）＜0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為
（）和（），函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）（5分）
（2）假設存在這樣的a，b，使得對任意的x∈[0，1]成立，則①，兩式相加可得0＜＜3，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[]遞減，在區(qū)間[]遞增，
所以②，
由不等式組中的第二式加第三式可得，
由不等式組中的第一式加第三式可得．       （10分）
記，，a=3，
又，在為減函數(shù)，
又，所以，所以，
所以a=1，代入②式可得，所以存在a=1，，
使得對任意的x∈[0，1]成立．          （16分）
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，轉(zhuǎn)化思想．