Question

已知雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的漸近線與拋物線C：y=x²+1相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P．
（I）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及雙曲線E的離心率；
（II）記過點(diǎn)P的漸近線為l₁，雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且垂直于l₁的直線l₂與雙曲線E交于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)△PAB的面積為

40

3

時，求雙曲線E的方程．

Answer 1

（I）設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，

x

20

+1)，則切線的斜率為(x2+1)′|x=x0=2x0…（1分）
因?yàn)殡p曲線E的漸近線y=

b

a

x與拋物線C相切，所以2x0=

b

a

①
又

x

20

+1=

b

a

x0②
由①、②消去x₀得：(

b

2a

)2+1=

b2

2a2

，即b²=4a²，…（3分）
又c²=a²+b²，所以c²-a²=4a²，c²=5a²，
即e2=

c2

a2

=5，e=

5

．…（4分）
由①、②還可得

x

20

+1=2

x

20

，即x₀=±1，
又P在第一象限，從而切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）…%分
（II）由（I）得l₁的方程為y=2x，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(

5

a，0)，雙曲線E的方程為4x²-y²=4a²．
因?yàn)閘₁⊥l₂，所以l₂的方程為y=-

1

2

(x-

5

a)．
由

y=- 1 2 (x- 5 a) 4x2-y2=4a2

消去y得：15x2+2

5

ax-21a2=0．
從而xA+xB=-

2 5

15

a，xAxB=-

7

5

a2．
故|AB|=

1+(- 1 2 )2

•

(xA+xB)2-4xAxB

=

5 4

•

(- 2 5 15 a)2+ 28 5 a2

=

8

3

a．…（7分）
由點(diǎn)到直線的距離公式得△PAB的高h=|a-

5

|．…（8分）
所以△PAB的面積S=

4

3

a|a-

5

|=

40

3

．
當(dāng)0＜a＜5時，a(a-

5

)=10，即a2-

5

a+10=0，無實(shí)數(shù)解；
當(dāng)a≥5時，a(a-

5

)=10，即a2-

5

a+10=0，
解得a=2

5

或a=-

5

（舍去）…（11分）
故a=2

5

，b=2a=4

5

，
所以所求方程為

x2

20

-

y2

80

=1．…（12分）