Question

6．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1≥0\\ x-2y+1≤0\\ x+y-5≤0\end{array}$，則當(dāng)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2時(shí)，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值是（　�。�

• A． $\frac{{5+2\sqrt{6}}}{2}$
• B． $5+2\sqrt{6}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 首先畫出可行域，得到目標(biāo)函數(shù)取最小值時(shí)a，b滿足的等式，然后對(duì)所求變形為基本不等式的形式求最小值．

解答 解：畫出可行域如圖，由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$得到H（1，1），
∵當(dāng)a＞0，b＞0，所以z在H（1，1）處取得最小值，
故a+b=2，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}=（\frac{1}{a}+\frac{1}）•\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}（1+\frac{a}+\frac{a}+1）≥1+\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}=2$，
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值是2；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題以及利用基本不等式求最小值；正確求出a+b=2是解答本題的關(guān)鍵．