Question

【題目】如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（1）求證：AC⊥平面BDE；
（2）設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為DE⊥平面ABCD，

所以DE⊥AC．

因為ABCD是正方形，

所以AC⊥BD，因為DE∩BD=D

從而AC⊥平面BDE．

（2）解：當M是BD的一個三等分點，即3BM=BD時，AM∥平面BEF．

取BE上的三等分點N，使3BN=BE，連接MN，NF，則DE∥MN，且DE=3MN，

因為AF∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN，

故四邊形AMNF是平行四邊形．

所以AM∥FN，

因為AM平面BEF，FN平面BEF，

所以AM∥平面BEF．

【解析】（1）根據DE⊥平面ABCD，由線面垂直的判定定理可知DE⊥AC，由ABCD是正方形可知AC⊥BD，而DE∩BD=D，滿足線面垂直的判定所需條件，從而證得結論；（2）當M是BD的一個三等分點，即3BM=BD時，AM∥平面BEF．取BE上的三等分點N，使3BN=BE，連接MN，NF，則DE∥MN，且DE=3MN，而AF∥DE，且DE=3AF，則四邊形AMNF是平行四邊形，從而AM∥FN，AM平面BEF，FN平面BEF，滿足線面平行的判定定理，從而證得結論．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．