Question

【題目】設(shè)定義在上的函數(shù)、和，滿足，且對任意實(shí)數(shù)、（），恒有成立.

⑴試寫 出一組滿足條件的具體的和，使為增函數(shù)，為減函數(shù)，但為增函數(shù).

⑵判斷下列兩個命題的真假，并說明理由.

命題1）：若為增函數(shù)，則為增函數(shù)；

命題2）：若為增函數(shù)，則為增函數(shù).

⑶已知，寫出一組滿足條件的具體的和，且為非常值函數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)答案不唯一，見解析；(2) 命題1）為真，命題2）為假，理由見解析；(3) 答案不唯一，詳見解析.

【解析】

(1)根據(jù)題意找出滿足條件的一組和即可，答案不唯一；

(2) 命題1）為真命題，結(jié)合單調(diào)性定義進(jìn)行說明；命題2）為假命題，列舉反例即可；

(3)由寫出一組符合題意的和即可.

(1) 為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為增函數(shù).

(2) 命題1）：若為增函數(shù)，則為增函數(shù)，是真命題；

理由如下：設(shè)，由為增函數(shù)可得；

若為增函數(shù)或者常數(shù)函數(shù)，則一定為增函數(shù)；

若滿足，則由可得

，

，即，所以為增函數(shù)；

命題2）：若為增函數(shù)，則為增函數(shù)，是假命題；

如為減函數(shù)，為增函數(shù)，但是不是增函數(shù).

(3) 答案不唯一；由，

令，為增函數(shù)，非常數(shù)函數(shù)，

則，

所以為增函數(shù).