如圖1,在直角梯形中, ,
把△沿對角線折起后如圖2所示(點(diǎn)記為點(diǎn)), 點(diǎn)在平面上的正投影 落在線段上, 連接.
(1) 求直線與平面所成的角的大小;
(2) 求二面角的大小的余弦值.
圖1 圖2
(1) 解:在圖4中,
∵
∴, , .
∵,
∴△為等邊三角形.
∴. …2分
在圖5中,
∵點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影,
∴平面.
∵平面,
∴.
∵,
∴.
∵平面, 平面,
∴平面.
∴為直線與平面所成的角. …4分
在Rt△中, ,
∴.
∵,
∴.
∴直線與平面所成的角為. …6分
(2) 解:取的中點(diǎn), 連接,.
∵ ,
∴ .
∵平面,平面,
∴.
∵平面, 平面,
∴平面.
∵平面,
∴.
∴為二面角的平面角. …8分
在Rt△中,,
∴,.
在Rt△中,.
在Rt△中,.
∴二面角的大小的余弦值為. …12分
方法二:
解:在圖4中,
∵
∴, , .
∵,
∴△為等邊三角形.
∴. …2分
在圖5中,
∵點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的射影, 圖4
∴平面.
∵平面,
∴.
∵,
∴.
∵平面, 平面,
∴平面. …4分
連接,
在Rt△和Rt△中,,
∴Rt△Rt△.
∴.
∴.
∴.
在Rt△中,.
∴.
在Rt△中,. …6分
以點(diǎn)為原點(diǎn),所在直線為軸,與平行的直線為軸,所在直線為軸,建立空
間直角坐標(biāo)系,則,,,,
.
∴,,,.
(1)∵,
∴.
∴ 直線與平面所成的角為. …9分
(2) 設(shè)平面的法向量為n,
由 得
令, 得,.
∴n為平面的一個法向量.
∵為平面的一個法向量,
∴.
∵二面角的平面角為銳角,
∴二面角的平面角的余弦值為. …12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年山西省高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖1,在直角梯形中,,,,. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上,連接,點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在一點(diǎn),使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年北京市海淀區(qū)高三5月期末練習(xí)(二模)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖1,在直角梯形中,,,,
. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上,連接,點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn).
(I)求證:平面平面;
(II)求直線與平面所成角的正弦值;
(III)在棱上是否存在一點(diǎn),使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年山東省高三4月模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖1, 在直角梯形中, , ,,為線段的中點(diǎn). 將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆廣東省汕頭市高二下學(xué)期期中文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖1,在直角梯形中,,,且.
現(xiàn)以為一邊向形外作正方形,然后沿邊將正方形翻折,使平面與平面垂直,為的中點(diǎn),如圖2.
(1)求證:∥平面;
(2)求證:平面;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
圖 圖
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年天津市天津一中高三下學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué)(理) 題型:解答題
如圖1,在直角梯形中, ,
把△沿對角線折起后如圖2所示(點(diǎn)記為點(diǎn)), 點(diǎn)在平面上的正投影 落在線段上, 連接.
(1) 求直線與平面所成的角的大小;
(2) 求二面角的大小的余弦值.
圖1 圖2
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