Question

已知函數(shù)．

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求的極值；

（3）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問，將代入，先得到的解析式，對求導(dǎo)，將代入中，得到切線的斜率，將代入到中得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；第二問，對求導(dǎo)，在定義域內(nèi)，利用為單調(diào)遞增函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的極值點(diǎn)位置；第三問，結(jié)合第二問的結(jié)論，討論與的大小，分和兩種情況，通過判斷的單調(diào)性最值，畫出的簡圖，看與是否有公共點(diǎn)，從而求出a的取值范圍.

試題解析：（1），且．

又，．

在點(diǎn)處的切線方程為：，

即．4分

（2）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719024464484941/SYS201411171902545827617707_DA/SYS201411171902545827617707_DA.025.png">，，令得．

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；

在處取得極大值，即．8分

（3）（i）當(dāng)，即時(shí)，

由（Ⅱ）知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，取得最大值，即．

又當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以，的圖像與的圖像在上有公共點(diǎn)，

等價(jià)于，解得，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719024464484941/SYS201411171902545827617707_DA/SYS201411171902545827617707_DA.050.png">，所以．

（ii）當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，

在上的最大值為，

原問題等價(jià)于，解得，又無解

綜上，的取值范圍是．14分

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；2.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值.