Question

已知函數(shù)f(x)=ln

1+2x

+mx
（1）f（x）為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）當(dāng)m=1時(shí)，且1≥a＞b≥0，證明：

4

3

＜

f(a)-f(b)

a-b

＜2．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)定義域得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0不能恒成立，所以只能整理導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，分離參數(shù)得到結(jié)論；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的極值與最值；
（3）當(dāng)m=1時(shí)，構(gòu)造新函數(shù)g（x），對新函數(shù)求導(dǎo)，得到新函數(shù)在[0，1]上遞增，利用遞增函數(shù)的定義，寫出遞增所滿足的條件，再構(gòu)造新函數(shù)h（x），同理得到函數(shù)在[0，1]上遞減，得到遞減的條件，得到結(jié)論．

解答：（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?

1

2

，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=

1

1+2x

+m．
∵x＞-

1

2

，∴

1

1+2x

＞0，∴不存在實(shí)數(shù)m，使f′（x）=

1

1+2x

+m＜0對x＞-

1

2

恒成立，
由f′（x）=

1

1+2x

+m≥0對x＞-

1

2

恒成立得，m≥

1

1+2x

對x＞-

1

2

恒成立
而

1

1+2x

＜0，故m≥0
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m≥0時(shí)，f′(x)=

1

1+2x

+m＞0對x＞-

1

2

恒成立
∴當(dāng)m≥0時(shí)，f（x）為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）解：當(dāng)m=-1時(shí)，由f′（x）=

1

1+2x

-1=0，可得x=0
當(dāng)x∈(-

1

2

，0)時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（0+∞）時(shí)，f′（x）＜0
∴函數(shù)f（x）在x0時(shí)取得最大值，最大值為f（0）=0
（3）證明：當(dāng)m=1時(shí)，令g(x)=f(x)-

4

3

x=

1

2

ln(1+2x)-

1

3

x
∴g′(x)=

1

1+2x

-

1

3

=

2(1-x)

3(1+2x)

在[0，1]上總有g(shù)′（x）≥0，即g（x）在[0，1]上遞增
∴當(dāng)1≥a＞b≥0時(shí)，g（a）＞g（b），即f(a)-

4

3

a＞f(b)-

4

3

b⇒

f(a)-f(b)

a-b

＞

4

3

．
令h(x)=f(x)-2x=

1

2

ln(1+2x)-x，
由（2）知它在[0，1]上遞減，
∴h（a）＜h（b）
即f(a)-2a＜f(b)-2b⇒

f(a)-f(b)

a-b

＜2
綜上所述，當(dāng)m=1，且1≥a＞b≥0時(shí)，

4

3

＜

f(a)-f(b)

a-b

＜2

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查根據(jù)需要構(gòu)造新函數(shù)，考查遞增函數(shù)的定義，考查函數(shù)的恒成立問題，考查解決問題的能力和分析問題的能力，是一個(gè)中檔題．